Démonstration du non optimal

npj Quantum Information volume 8, Article number: 84 (2022) Citer cet article

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La discrimination d'état quantique est un problème central de la théorie de la mesure quantique, avec des applications allant de la communication quantique au calcul. Les paradigmes de mesure typiques pour la discrimination d'état impliquent une probabilité minimale d'erreur ou une discrimination sans ambiguïté avec une probabilité minimale de résultats non concluants. Alternativement, une mesure optimale non concluante, une mesure non projective, réalise une erreur minimale pour une probabilité non concluante donnée. Cette mesure plus générale englobe les paradigmes de mesure standard pour la discrimination d'état et fournit un outil beaucoup plus puissant pour l'information et la communication quantiques. Ici, nous démontrons expérimentalement la mesure optimale non concluante pour la discrimination des états cohérents binaires en utilisant l'optique linéaire et la détection de photon unique. Notre démonstration utilise des opérations de déplacement cohérentes basées sur l'interférence, la détection de photon unique et la rétroaction rapide pour préparer la politique de rétroaction optimale pour la mesure quantique non projective optimale avec une haute fidélité. Cette mesure généralisée nous permet de passer de manière optimale entre les paradigmes de mesure standard d'une erreur minimale à des mesures non ambiguës pour des états binaires cohérents. Comme cas particulier, nous utilisons cette mesure générale pour implémenter la mesure d'erreur minimale optimale pour les états cohérents en phase, qui est la modulation optimale pour les communications sous la contrainte de puissance moyenne. De plus, nous proposons une mesure hybride qui exploite la mesure non concluante optimale binaire en conjonction avec l'élimination d'état séquentielle et non ambiguë pour réaliser des mesures non concluantes de dimension supérieure d'états cohérents.

La théorie de la mesure quantique fournit une compréhension fondamentale des limites de la sensibilité réalisable pour distinguer les états quantiques1,2,3. Les stratégies physiquement réalisables qui atteignent, voire approchent, les limites de sensibilité ultimes pour distinguer les états cohérents non orthogonaux ont un large éventail d'applications dans la communication optique4,5,6,7,8,9, la cryptographie10,11,12,13,14,15 ,16,17 et le traitement de l'information quantique18,19,20. Un problème central de la théorie de la mesure quantique et du traitement de l'information quantique est la discrimination entre deux états quantiques \(\left|{\psi }_{1}\right\rangle\) et \(\left|{\psi }_{2 }\right\rangle\) avec une certaine mesure optimale étant donné un critère d'optimalité, en fonction de l'application spécifique2,21,22.

Deux paradigmes de mesure fondamentaux pour la discrimination d'état quantique impliquent soit une erreur minimale, soit une discrimination d'état sans ambiguïté. La discrimination d'état d'erreur minimale (MESD) vise à atteindre une probabilité minimale d'erreur PE23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34. La borne d'Helstrom24 donne la limite ultime pour PE, qui est atteinte par des mesures projectives sur des superpositions complexes d'états quantiques. Notamment, la mesure MESD optimale pour les états cohérents binaires peut être réalisée avec une optique linéaire, une détection à photon unique et une rétroaction rapide35,36. En revanche, la discrimination d'état sans ambiguïté (USD) permet une discrimination parfaite avec PE = 0, mais nécessite une probabilité non nulle de résultats non concluants PI ≠ 0. Une telle mesure non projective est décrite par une mesure à valeur d'opérateur positive (POVM) à trois éléments2,37,38, et vise à atteindre le plus petit PI possible39,40,41,42,43,44,45,46,47. La réalisation d'un USD optimal d'états cohérents binaires ne nécessite pas de rétroaction12,48,49, ce qui permet des implémentations plus simples45,50 par rapport au MESD optimal.

Alors que des mesures projectives optimales existent pour certaines tâches de discrimination binaire2,24,51,52, la théorie de la mesure quantique permet une classe plus large de mesures quantiques généralisées qui ne sont pas projectives. Ces mesures généralisées fournissent un outil plus puissant pour le traitement de l'information quantique et les communications2. Parmi ces mesures quantiques générales, la mesure optimale non concluante atteint la plus petite probabilité d'erreur possible pour une probabilité fixe de résultats non concluants37,53. Cette mesure est une mesure non projective, et donc décrite par un POVM non projectif, qui englobe les paradigmes de mesure MESD et USD. De plus, les mesures quantiques non projectives permettent des tâches de discrimination plus exotiques telles que l'élimination d'états quantiques54, la comparaison d'états55,56,57 et la discrimination avec une marge d'erreur fixe58. De plus, la compréhension des mesures optimales non concluantes pour les états binaires peut fournir une voie pour réaliser des POVM arbitraires non projectifs dans un espace de Hilbert bidimensionnel59,60.

Des travaux théoriques sur la théorie de la mesure quantique ont montré qu'il est possible de réaliser une mesure optimale non concluante pour une large classe d'états quantiques basée sur des opérations locales et des communications classiques58,61,62. Cependant, les opérateurs de mesure correspondants pour la discrimination d'états optiquement cohérents n'ont pas nécessairement une réalisation physique réalisable. Alors que des mesures sous-optimales non concluantes d'états cohérents peuvent être réalisées sur la base de l'optique linéaire et de la détection de photons uniques63, leurs performances sont inférieures aux performances de la mesure optimale non concluante. Travaux récents dans la réf. 64 ont proposé une réalisation physique d'une stratégie pour la mesure optimale non concluante d'états cohérents binaires. Il a été démontré qu'une telle mesure non projective peut être réalisée à l'aide d'opérations de déplacement, de détection de photon unique et de rétroaction64, qui sont les mêmes éléments physiques nécessaires à la mise en œuvre de mesures projectives binaires arbitraires52,65.

Dans ce travail, nous démontrons expérimentalement la mesure optimale non concluante pour les états binaires cohérents64. La mesure divise l'énergie de l'état d'entrée en deux modes temporels. Il effectue une mesure MESD dans le premier mode fournissant des résultats concluants avec une certaine probabilité d'erreur, et une mesure optimale non concluante dans le domaine à un seul état dans le second mode déterminant si le résultat de la mesure est non concluant. Notre démonstration utilise une rétroaction en temps réel à faible bruit et à large bande passante conditionnée sur des détections à photon unique pour préparer les opérations de déplacement optimales requises pour la mesure optimale non concluante. Nous utilisons en outre cette mesure optimale généralisée pour réaliser le MESD optimal pour les états cohérents en phase, qui est la modulation optimale pour les communications optiques sous la contrainte de puissance moyenne, démontrant ainsi le récepteur quantique optimal pour les communications optiques cohérentes. Enfin, nous montrons que la mesure non concluante optimale binaire permet la réalisation d'une discrimination non concluante de trois états cohérents lorsqu'elle est utilisée avec des mesures pour l'élimination d'état sans ambiguïté basée sur des tests d'hypothèse. Cette méthode proposée peut en principe être étendue à des stratégies de mesure non concluantes de haute dimension d'états cohérents.

La mesure non concluante optimale est une mesure quantique non projective qui englobe les paradigmes MESD et USD et optimise le compromis entre les erreurs et les résultats non concluants37,53. Par construction, la mesure non concluante optimale atteint la probabilité d'erreur minimale PE pour une probabilité non concluante spécifiée PI2,64. Une réalisation réalisable du POVM pour la mesure optimale non concluante \(\{{\hat{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{ \hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) pour les états binaires cohérents a été récemment proposé dans la réf. 64. Notamment, cette mesure non projective optimale peut en principe être réalisée par une généralisation du récepteur optimal pour le MESD, appelé récepteur Dolinar. Ce récepteur MESD optimal est basé sur des opérations de déplacement dans l'espace des phases mises en œuvre en interférant l'état d'entrée avec un champ d'oscillateur local (LO), une détection de photon unique et une rétroaction avec une politique de rétroaction optimale. Le déplacement a une amplitude donnée par une forme d'onde optimale et une phase conditionnée à la détection de photons35,36,66.

La figure 1a montre le concept de la mesure optimale non concluante. L'état d'entrée \(\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle\) et le fort champ LO interfèrent sur un séparateur de faisceau à haute transmittance pour implémenter une opération de déplacement \(\hat{D}(u(t) )\). Le récepteur implémente la forme d'onde de déplacement optimale u(t), où la phase du LO bascule entre 0 et π en fonction des résultats de détection de photons du détecteur à photon unique (SPD) pendant le temps de mesure. Dans la proposition de stratégie de discrimination non concluante optimale64, le récepteur généralisé effectue des mesures optimales dans deux modes temporels pendant le temps de mesure 0 ≤ t ≤ 1 en utilisant des opérations de déplacement, une détection de photon unique et une rétroaction. Dans le premier mode temporel (0 ≤ t ≤ t1), le récepteur effectue une mesure MESD optimale pour discriminer entre \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) avec une erreur minimale en utilisant la forme d'onde de déplacement optimale35,36,64,66. Dans le deuxième mode temporel (t1 < t ≤ 1), le récepteur effectue une mesure optimale non concluante dans le domaine dit à un seul état, où la mesure devient une mesure projective telle que l'élément POVM pour l'état le moins probable est nul, par exemple, \({\hat{{{\Pi }}}}_{2}=0\)58,64. Sans perte de généralité, l'état le plus probable après le premier mode est \(\left|\alpha \right\rangle\), et les éléments POVM non nuls sont \({\hat{{{\Pi }}}} _{1}\) et \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}\). Par conséquent, le récepteur dans le second mode temporel tente de déterminer si le résultat de mesure n'est pas concluant, c'est-à-dire que le récepteur réalise une mesure MESD entre les résultats corrects et non concluants. La référence 64 montre que cette mesure projective dans le deuxième mode temporel (domaine à un seul état) peut être réalisée par un récepteur de type Dolinar avec une forme d'onde de déplacement optimale différente, qui est l'élément clé que nous exploitons pour démontrer la mesure optimale non concluante. La forme d'onde de déplacement total u(t) qui met en œuvre la mesure optimale non concluante est donnée par64 :

Où N1(t) et N2(t) sont le nombre total de photons détectés jusqu'au temps t pour le premier et le deuxième mode temporel, respectivement, et N0 ∈ {0, 1} basé sur ∣α∣2, PI et p64 . La forme d'onde optimale totale u(t) est composée de u1(t) et u2(t), dont chacun est optimal pour les deux modes temporels (voir la section "Méthodes" pour plus de détails). L'amplitude de u(t) est prédéterminée sur la base des valeurs de ∣α∣2, PI et p, mais le signe de u(t) (phase de LO) bascule de manière adaptative entre positif et négatif (phase LO de 0 et π) chaque détection de photon due aux \({(-1)}^{{N}_{1}(t)}\) et \({(-1)}^{{N}_{2}( t)+{N}_{0}}\) termes.

a Schéma du récepteur généralisé pour la mesure optimale non concluante. Les états d'entrée sont déplacés dans l'espace des phases à l'aide d'une forme d'onde optimale u(t) pour le champ LO et suivis d'un détecteur à photon unique (SPD) et d'opérations de rétroaction. b Amplitudes de forme d'onde optimales ∣u(t)∣ pour différents nombres moyens de photons |α|2 (panneau supérieur). Le panneau inférieur montre un exemple de la forme d'onde u(t) pour un enregistrement de mesure particulier où la phase LO bascule entre 0 et π à chaque détection de photon (Détections de photons, panneau du milieu). Les cercles le long de l'axe des x indiquent l'hypothèse actuelle pour l'état d'entrée au fur et à mesure que la mesure progresse. c Probabilité d'erreur PE pour la mesure non concluante optimale en fonction de la probabilité spécifiée de résultats non concluants PI pour ∣α∣2 = 0,2, 0,4 et 0,6. Les cercles colorés le long de l'axe des y (PI = 0) correspondent au plus petit PE possible dans le paradigme de MESD, et les carrés colorés le long de l'axe des x (PE = 0) correspondent au plus petit PI possible dans le paradigme de l'USD . d Configuration expérimentale utilisée pour démontrer les mesures optimales non concluantes d'états binaires cohérents.

Le panneau supérieur de la Fig. 1b montre l'amplitude du déplacement ∣u(t)∣ pour la stratégie non concluante optimale avec une probabilité non concluante PI = 0,19 pour ∣α∣2 = 0,2, 0,4 et 0,6. Les sauts discrets en ∣u(t)∣ pour chaque ∣α∣2 correspondent au temps t1 où le récepteur bascule entre les mesures deux modes temporels. Le récepteur implémente une mesure d'erreur minimale avec un récepteur Dolinar pendant 0 ≤ t ≤ t1 avec u1(t) entre \(\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle\). Le récepteur implémente ensuite la mesure optimale non concluante dans le domaine à un seul état \(\{{\hat{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{ ? }\}\) avec un récepteur de type Dolinar pendant t1 < t ≤ 1 avec u2(t). Le résultat final de la mesure est soit un résultat non concluant avec probabilité PI, soit un résultat de discrimination correct avec probabilité PC, soit une erreur avec probabilité PE = 1 − PC − PI64. Le panneau inférieur de la figure 1b montre l'amplitude de déplacement u(t) pour un exemple d'enregistrement de mesure. L'hypothèse provisoire (cercles) et la phase de la forme d'onde changent chaque fois qu'un photon est détecté. La ligne pointillée rouge (t1 ≈ 0,70) montre où le récepteur passe du MESD des deux états d'entrée dans le premier mode temporel au MESD entre l'état le plus probable compte tenu de l'enregistrement de détection actuel et le résultat non concluant dans le second mode temporel.

La figure 1c montre les probabilités résultantes {PI, PE} de la mesure optimale non concluante pour les états cohérents équiprobables \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) avec ∣α∣2 = 0,2 , 0,4 et 0,6, en bleu, orange et jaune, respectivement. Les cercles colorés le long de l'axe y (PI = 0) correspondent au plus petit PE possible dans le paradigme de MESD (Helstrom Bound), et les carrés colorés le long de l'axe x (PE = 0) correspondent au plus petit PI possible dans le paradigme de l'USD (parfois appelé IDP bound39,40,41). Ainsi, la mesure non concluante optimale est la généralisation de MESD et USD et interpole entre ces paradigmes de mesure de manière optimale en utilisant des mesures non projectives plus générales. En général, la mesure optimale non concluante pour la discrimination de deux états quantiques généraux \(\{\left|{\psi }_{1}\right\rangle ,\left|{\psi }_{2}\right\rangle \}\) est représenté par trois éléments POVM \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{\ hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) où un résultat positif de \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1,2}\}\) indique que l'état \(\left|{\psi }_{1,2}\right\rangle\) est présent, et \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}=\hat{ I}-{\hat{{{\Pi }}}}_{1}-{\hat{{{\Pi }}}}_{2}\) correspond à un résultat non concluant. L'optimalité indique que cette mesure non projective atteint l'erreur minimale pour une probabilité fixe de résultats non concluants.

Alors que la mise en œuvre proposée de cette mesure quantique non projective dans la réf. 64 est en principe réalisable, sa démonstration nécessite un haut degré de contrôle pour la préparation de formes d'onde optimales avec une haute fidélité, et la capacité de réaliser des mesures de rétroaction avec une bande passante élevée et un faible bruit (voir la note complémentaire I). De plus, la validation des performances optimales nécessite des mesures de puissance absolue au niveau du photon unique. Dans notre démonstration expérimentale, nous abordons les problèmes pour satisfaire ces exigences strictes, ce qui nous permet de démontrer expérimentalement cette mesure quantique complexe avec une haute fidélité. La figure 1d montre notre configuration expérimentale pour la démonstration de la mesure optimale non concluante pour les états binaires cohérents. Nous utilisons une configuration interférométrique pour générer les états d'entrée et le champ de l'oscillateur local, un détecteur à photon unique (SPD) et un FPGA (Altera Cyclone IV, horloge de base 50 MHz) connecté à un convertisseur numérique-analogique (DAC) pour mettre en œuvre la forme d'onde de déplacement optimale requise u(t) pour la mesure optimale non concluante à l'aide de modulateurs d'amplitude (AM) et de phase (PM) couplés à la fibre (voir « Détails de la configuration expérimentale », « Mise en œuvre FPGA » et « Modulateurs optiques » dans les méthodes section pour plus de détails). Nous stabilisons activement notre interféromètre à l'aide d'un deuxième laser à 780 nm et d'une boucle de rétroaction pour maintenir une phase relative bien définie (voir "Implémentation FPGA" dans la section Méthodes pour plus de détails). Notre implémentation atteint une efficacité de détection globale η = 0,72(1) (η = ηSPDηsys où ηSPD = 0,82(1) est l'efficacité du SPD et ηsys = 0,88(1) est la transmission du système), la visibilité des interférences ξ = 0,998(1), et dark compte ν = 0,03(1) par impulsion. L'expérience fonctionne à un taux de répétition de 4 kHz, alternant entre des essais expérimentaux (1024 intervalles de temps, 160 ns chacun) et une stabilisation de l'interféromètre avec un rapport cyclique de ≈ 66 %. Nous avons également réalisé des investigations numériques sur les effets des imperfections réalistes décrites dans la note complémentaire I. Sur la base de ces études, nous observons qu'une efficacité de détection réduite dégrade les performances réalisables pour toutes les erreurs et probabilités non concluantes. Une visibilité réduite des interférences et des comptes d'obscurité accrus dégradent principalement les performances des stratégies où les PE ou PI souhaités sont faibles, c'est-à-dire proches des régimes MESD et USD.

Nous implémentons la mesure optimale non concluante pour les états cohérents équiprobables. Dans notre démonstration expérimentale, nous obtenons l'évolution temporelle de l'erreur \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp }(t)\), corrigez \({P}_ {{{{\rm{C}}}}}^{\exp }(t)\), et non concluant \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp } (t)\) probabilités en reconstruisant les résultats en post-traitement, et les comparer aux probabilités attendues {PE(t), PC(t), PI(t)}64. La finale non concluante \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(t=1)\) et l'erreur \({P}_{{{{\rm{E }}}}}^{\exp }(t=1)\) probabilités pour un ∣α∣2 donné correspondent à une seule réalisation de la mesure optimale non concluante. La figure 2a montre les résultats expérimentaux pour ∣α∣2 = 0,2, 0,4 et 0,6 en bleu, orange et jaune, respectivement. Les points montrent les données expérimentales \(\{{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(1),{P}_{{{{\rm{E}} }}}^{\exp }(1)\}\) et les barres d'erreur représentent un écart type de cinq séries expérimentales de 5 × 104 expériences indépendantes chacune. Les lignes noires montrent l'attente théorique des simulations de Monte-Carlo de l'expérience incorporant des imperfections expérimentales (voir la note complémentaire IV). Nous notons que nous obtenons les performances attendues de notre démonstration en simulant directement l'expérience, y compris les imperfections expérimentales et d'autres effets, sans nécessiter de procédures d'ajustement. Les lignes grises en pointillés montrent les performances idéales (η = 1) pour chaque nombre moyen de photons. Les cercles et les carrés colorés sur l'axe des y et l'axe des x montrent le PE et le PI optimaux pour le MESD et l'USD idéaux, respectivement, pour chaque ∣α∣2.

a Résultats expérimentaux pour la mesure optimale non concluante pour ∣α∣2 = 0,2, 0,4 et 0,6, en bleu, orange et jaune, respectivement. Chaque point correspond aux valeurs mesurées de \(\{{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(1),{P}_{{{{\rm{E }}}}}^{\exp }(1)\}\) et les barres d'erreur représentent un écart type de cinq séries de 5 × 104 expériences individuelles chacune. Les lignes pleines montrent les résultats attendus et les lignes grises en pointillés montrent la performance idéale pour chaque ∣α∣2. Les cercles et les carrés de couleur sur l'axe des y et l'axe des x montrent le PE et le PI optimaux pour le MESD et l'USD idéaux, respectivement. Encart (i) : évolution de \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp }\), \({P}_{{{{\rm{C}} }}}^{\exp }\), et \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }\) pour ∣α∣2 = 0,2 et et \({ P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }\)=0,31. b Résultats expérimentaux (points bleus) d'une mesure MESD optimale, le récepteur Dolinar, pour des états cohérents en phase \(\{\left|\pm \alpha \right\rangle \}\). Les lignes pleines grises et rouges montrent la limite de Helstrom pour η = 1,0 et η = 0,72, respectivement, et les lignes pointillées montrent l'erreur correspondante pour une mesure homodyne.

Nous observons que notre démonstration de la mesure optimale non concluante avec η = 0,72 pour ∣α∣2 = 0,2, 0,4 et 0,6 atteint des erreurs inférieures à la borne de Helstrom idéale lorsque PI ⪆ 0,18. Cela montre qu'une mise en œuvre non idéale de la mesure optimale non concluante peut dépasser la borne de Helstrom idéale au prix d'avoir des résultats non concluants (Nous notons que si la borne de Helstrom est l'erreur de discrimination minimale qui peut être obtenue par une mesure déterministe, cette borne n'est pas l'erreur la plus faible pour une mesure quantique générale qui permet des résultats non concluants 53. En tant que tel, la mesure non concluante optimale permet alors des erreurs inférieures à la limite de Helstrom pour PI ≠ 0, et atteint zéro erreur à un taux de résultats non concluants donné par l'IDP lié39,40,41). L'encart de la Fig. 2a montre un exemple de l'évolution de PE(t) (bleu), PC(t) (orange) et PI(t) (jaune) au fur et à mesure que la mesure progresse pour ∣α∣2 = 0,2 et PI ≈ 0,31. Les lignes pleines montrent l'attente théorique, y compris les imperfections expérimentales et les points montrent les résultats expérimentaux pour \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp}(t)\), \( {P}_{{{{\rm{C}}}}}^{\exp }(t)\), et \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{ \exp }(t)\) tous les 50 intervalles de temps. Notez que la mesure passe d'une mesure MESD à une mesure optimale non concluante dans le domaine à un seul état à t1 ≈ 0,57.

La mesure optimale non concluante généralise MESD et USD64, et peut être utilisée pour démontrer la mesure MESD optimale, le récepteur Dolinar35, en définissant PI = 0. Les travaux précédents36 ont démontré un récepteur Dolinar pour des états cohérents modulés en intensité \(\{\left| 0\right\rangle ,\left|\alpha \right\rangle \}\) et atteint des performances inférieures à la limite de bruit de tir après correction des pertes du système et de l'efficacité de détection. Cependant, les états cohérents codés en phase \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) sont la modulation optimale pour les communications cohérentes binaires sous contrainte d'énergie. En effet, cet alphabet a le plus petit chevauchement, et donc la plus grande différenciation, pour une énergie moyenne fixe des états48,67,68. À cette fin, nous utilisons la mesure optimale non concluante pour démontrer un récepteur Dolinar pour les états cohérents binaires codés en phase, et ainsi démontrer le récepteur quantique optimal pour les communications optiques cohérentes.

La figure 2b montre les résultats expérimentaux (points bleus) et la probabilité d'erreur attendue (noir uni) pour la mesure MESD optimale, le récepteur Dolinar, pour les états cohérents en phase avec les limites Helstrom (solide) et homodyne (en pointillés). La borne d'Helstrom et les limites homodynes corrigées de notre efficacité globale (η = 0,72) sont incluses à titre de référence. Nous observons que notre démonstration du récepteur Dolinar se rapproche de la borne d'Helstrom corrigée et montre un excellent accord avec les prédictions théoriques (ligne noire continue). Nous notons que notre implémentation de la mesure MESD optimale pour les états BPSK avec une efficacité globale de η = 0,72 atteint PE = 0,18 pour ∣α∣2 = 0,2, ce qui est inférieur à la limite homodyne idéale qui correspond à la mesure gaussienne optimale pour BPSK67. Ce taux d'erreur est similaire à celui obtenu par un récepteur sous-optimal sans rétroaction dans la réf. 27 utilisant un détecteur supraconducteur à haut rendement (η = 0,99) résultant en un rendement global du système de η = 0,91. Ainsi, nous concluons que la stratégie démontrée ici basée sur des mesures adaptatives complexes peut potentiellement fournir des sensibilités globales plus élevées que la stratégie sous-optimale sous la même perte et un bruit et des imperfections expérimentaux réalistes. En principe, la mesure optimale non concluante permet également de construire la mesure optimale de l'USD où PE = 0. Cependant, les imperfections expérimentales telles que les comptages sombres et la visibilité non idéale des interférences empêchent le récepteur d'atteindre PE = 0 (voir Fig. 2 ). Néanmoins, le cadre ci-dessus permet de trouver la forme d'onde optimale pour mettre en œuvre cette mesure optimale.

Nous étudions comment tirer parti de la mesure optimale non concluante des états cohérents binaires pour permettre une discrimination d'état non concluante des codages de dimension supérieure. Nous proposons une mesure hybride qui utilise des mesures binaires optimales non concluantes en conjonction avec une élimination d'état sans ambiguïté, qui peut réaliser une telle mesure non projective non concluante d'états ternaires modulés par déplacement de phase (TPSK) \(\{\left|\alpha \right\ rangle ,\left|\alpha {e}^{i2\pi /3}\right\rangle ,\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle \}\), et peut être étendu à des dimensions supérieures. Cette mesure vise d'abord à éliminer tous les états d'entrée possibles sauf deux via un test d'hypothèse, puis utilise la mesure optimale non concluante dans les états binaires restants. La figure 3a montre les opérations de mesure conditionnées à la détection de photon unique, réalisées par la mesure non concluante proposée en haute dimension. Le récepteur réalise une mesure d'élimination basée sur des tests d'hypothèse (région rouge, Fig. 3a-i) pour l'état \(\left|\alpha \right\rangle\) sur une fraction f/3 de l'état d'entrée total. Cette mesure d'élimination d'état est basée sur une opération de déplacement de \(\left|\alpha \right\rangle\) vers l'état de vide \(\left|0\right\rangle\) et une détection de photon unique, telle que la détection de un photon élimine sans ambiguïté \(\left|\alpha \right\rangle\) comme état d'entrée possible. Si un photon est détecté dans la première étape (étape 1), le récepteur effectue alors une mesure binaire optimale non concluante (région bleue, Fig. 3a-i) pour discriminer de manière optimale entre \(\left|\alpha {e}^{i2 \pi /3}\right\rangle\) et \(\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle\) en utilisant la fraction restante 1 - f/3 de l'énergie d'entrée. Si aucun photon n'est détecté lors de la première étape, le récepteur réalise alors une mesure d'élimination d'état pour l'état d'entrée \(\left|\alpha {e}^{i2\pi /3}\right\rangle\) en utilisant également une fraction f/3 de la puissance d'entrée totale (Fig. 3a-ii) . Maintenant, si un photon est détecté dans la deuxième étape (étape 2), une mesure optimale non concluante discrimine entre les deux états d'entrée possibles restants en utilisant une fraction 1 - 2f/3 de la puissance d'entrée, où le facteur 2 provient de la première étape . Si aucun photon n'est détecté à la deuxième étape, le récepteur teste l'état \(\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle\) à l'étape 3, en utilisant également une fraction f /3 de l'état d'entrée total (Fig. 3a-iii). Si un photon est détecté, une mesure optimale non concluante fait la distinction entre les deux états restants en utilisant maintenant une fraction 1 - 3f/3 de la puissance d'entrée. Si aucun photon n'est détecté dans le troisième test d'hypothèse pour l'élimination sans ambiguïté de l'état, nous définissons le résultat de la mesure comme non concluant.

a La mesure non concluante proposée pour les états TPSK utilise une élimination d'état séquentielle sans ambiguïté, suivie de la mesure binaire optimale non concluante (voir le texte principal pour plus de détails). b Probabilité d'erreur conditionnelle PE/(1 − PI) en fonction de la probabilité non concluante PI pour ∣α∣2 = 0,2 (bleu), 0,4 (orange) et 0,6 (jaune). Nous comparons la mesure proposée avec le paramètre f = 0,66 (solide) et f = 0,90 (en pointillé) à la performance de la détection hétérodyne idéale (en pointillé). Voir le texte pour plus de détails.

La figure 3b montre les résultats de simulation pour la mesure non concluante proposée des états TPSK basée sur la mesure non concluante optimale pour les états binaires pour les nombres moyens de photons ∣α∣2 = 0,2, 0,4 et 0,6. L'axe des abscisses correspond à la probabilité non concluante et l'axe des ordonnées correspond à la probabilité d'erreur conditionnelle PE/(1 − PI), c'est-à-dire la probabilité d'erreur étant donné qu'un résultat concluant a été obtenu. Les lignes pleines et pointillées montrent la mesure non concluante proposée de trois états cohérents avec f = 0,66 et f = 0,90, respectivement. Les lignes pointillées montrent le résultat \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}}/(1-{P}_{{{ {\rm{I}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}})\) pour utiliser la détection hétérodyne idéale, où les résultats de mesure avec la plus grande probabilité d'erreur sont désignés comme non concluants jusqu'à la probabilité non concluante souhaitée est réalisé comme dans la réf. 45. Les limites optimales pour l'USD et le MESD pour trois États sont représentées par des carrés et des cercles sur l'axe des x (PE = 0) et l'axe des y (PI = 0), respectivement49,69.

Le PI global obtenu par cette stratégie contient deux contributions \({P}_{{{{\rm{I}}}}}={P}_{{{{\rm{I}}}}}^{( 1)}+{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\), où \({P}_{{{{\rm{I}}}}} ^{(1)}\) provient de l'étape d'élimination de l'état, et \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\) de la mesure binaire optimale non concluante. Dans l'étape d'élimination de l'état, la détection du vide au cours des trois tests d'hypothèse aboutit à un résultat non concluant car chaque état est également probable. Cela produit une borne inférieure (\({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(1)}\)) sur la probabilité non concluante réalisable PI en fonction des valeurs de f et ∣α∣ 2. Dans l'étape de mesure non concluante optimale binaire, la mesure proposée définit une probabilité non concluante "cible" (\({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\)) qui peut être défini pour tout ∣α∣2 afin d'atteindre l'IP global souhaité de la stratégie. Nous observons que la mesure proposée avec les deux valeurs du paramètre f, qui paramétrise les étapes d'élimination d'état non ambigu, peut surpasser la détection hétérodyne. De plus, nous notons qu'une valeur plus petite de f = 0,66 permet d'obtenir une probabilité d'erreur plus petite, mais cela limite également la plus petite probabilité non concluante atteignable de PI ≈ 0,76, 0,58 et 0,45 pour ∣α∣2 = 0,2, 0,4, et 0,6, respectivement. D'autre part, une valeur plus grande de f = 0,90 (lignes pointillées) permet une probabilité non concluante plus petite mais au prix d'une probabilité d'erreur plus grande par rapport à f = 0,66 (lignes pleines). Ce compromis est dû au fait qu'une plus grande valeur de f entraîne une plus faible contribution à l'IP du résultat non concluant lors de l'étape d'élimination de l'état (détection du vide à toutes les étapes). Cependant, une plus grande valeur de f entraîne une plus petite fraction de l'énergie d'entrée totale de l'état pour la mesure binaire optimale non concluante, ce qui entraîne une plus grande probabilité d'erreur. Ensuite, le choix optimal de la fraction d'énergie f dépendra de l'application particulière de cette mesure proposée. Par exemple, si nous sommes disposés à tolérer des résultats PI plus peu concluants pour atteindre un petit seuil d'erreur cible PE donné, comme pour les communications avec détection, correction et effacement d'erreurs70, nous devons choisir une petite valeur de f.

La mesure non concluante proposée pour trois états peut être étendue à des dimensions supérieures. En utilisant cette technique, une mesure non concluante de M états cohérents d'entrée peut être réalisée grâce à la mise en œuvre de M - 1 étapes de test d'hypothèse pour l'élimination sans ambiguïté de l'état45,49, suivie de la mesure binaire optimale non concluante. Étant donné que la mesure non concluante optimale binaire peut toujours atteindre PE = 0 pour \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)} \,<\, 1\), il y a toujours une plage de probabilités d'erreur pour laquelle cette stratégie surpassera la détection hétérodyne (notez \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}}= 0\) uniquement lorsque \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}}=1\)), c'est-à-dire qu'il y a toujours un régime d'erreur où \({P}_{{{{\rm{I}}}}} \,<\, {P}_{{{{\rm{I}}}}}^{{{{\ rm{Het}}}}}\). Idéalement, cette performance est atteinte à la plus petite valeur possible de PI, qui dépendra du nombre d'états possibles (Voir Note Complémentaire III).

Nous notons que la mesure proposée utilise des techniques similaires dans l'étape d'élimination d'état comme le récepteur Bondurant pour MESD d'états multiples71, et le récepteur USD basé sur la rétroaction et l'élimination d'état48. Cependant, la stratégie proposée ici utilise la mesure non concluante optimale de deux états pour permettre la transition entre les paradigmes de mesure de MESD et USD pour réaliser une mesure non concluante optimisée de plusieurs états cohérents. Alors que les performances de la stratégie pour plus d'états se dégraderont en raison de l'augmentation de la probabilité non concluante dans l'étape d'élimination de l'état, nous nous attendons à ce que cette stratégie serve de base pour concevoir des stratégies non concluantes optimisées dans des dimensions plus élevées. Un exemple possible de stratégies de mesure non concluantes pourrait utiliser des schémas de mesure hybrides combinant des mesures gaussiennes, telles que l'homodyne, avec le comptage de photons72,73. Dans ces schémas, la mesure gaussienne peut éliminer un sous-ensemble d'états, et le comptage de photons serait utilisé pour l'élimination d'état dans un plus petit sous-ensemble d'états suivi de la mesure binaire optimale non concluante.

Les mesures optimales non concluantes sont des mesures quantiques généralisées qui englobent les paradigmes standard de discrimination d'état, y compris MESD et USD. Ces mesures non projectives permettent diverses tâches de discrimination d'état et fournissent un outil plus puissant pour le traitement de l'information classique et quantique17,63. Dans la communication optique, les résultats de mesure non concluants peuvent être traités comme un canal d'effacement, et des mesures optimales non concluantes peuvent être exploitées pour augmenter la quantité de transfert d'informations en utilisant des codes de communication bien adaptés aux canaux d'effacement70. Ces mesures optimales non concluantes peuvent également permettre des schémas de répéteurs hybrides où des mesures non concluantes d'états cohérents sont utilisées pour emmêler des mémoires quantiques distantes74,75. Les progrès récents de la théorie de la mesure quantique ont montré que de telles mesures quantiques complexes pour des états cohérents binaires peuvent être réalisées en utilisant la détection à photon unique et les opérations locales et la communication classique dans une mesure à deux modes64. Cette stratégie de mesure divise l'énergie de l'état d'entrée en deux modes temporels. Il effectue une mesure MESD de l'état d'entrée dans le premier mode avec une certaine probabilité d'erreur, et une mesure optimale non concluante dans le domaine à un seul état dans le second mode déterminant si le résultat de la mesure est non concluant. L'optimalité de cette mesure permet d'obtenir une erreur minimale pour une probabilité non concluante donnée. De plus, de telles mesures quantiques généralisées peuvent être réalisées avec des récepteurs optimaux de type Dolinar pour des états cohérents.

Ici, nous démontrons expérimentalement la mesure optimale non concluante proposée dans64. Notre démonstration utilise des opérations de déplacement cohérentes, une détection de photon unique et une rétroaction rapide pour mettre en œuvre ces mesures quantiques générales non projectives avec une haute fidélité dans un système réel. Nous utilisons en outre cette mesure pour démontrer le MESD optimal pour les états cohérents binaires codés en phase, qui est la modulation optimale pour les communications optiques sous la contrainte de puissance moyenne. Bien que notre démonstration de preuve de principe de la mesure optimale non concluante ait été réalisée à des taux de mesure modérés, les futures implémentations basées sur la photonique intégrée avec modulation et traitement optiques à large bande passante76 dans un faible encombrement, ainsi que les progrès des détecteurs à nanofils intégrés à large bande passante permettront des démonstrations aux bandes passantes GHz. Ces résultats montrent que les récepteurs de type Dolinar peuvent être utilisés pour effectuer une grande variété de mesures dans un espace de Hilbert bidimensionnel avec les technologies actuelles. En outre, nous montrons comment la mesure non concluante optimale binaire peut être exploitée pour effectuer des mesures non concluantes dans des dimensions plus élevées avec des mesures hybrides utilisant l'élimination séquentielle sans ambiguïté de plusieurs états. Nos travaux contribuent à notre compréhension des limites fondamentales et pratiques des mesures basées sur la détection de photon unique, les opérations de déplacement cohérentes et la rétroaction, et peuvent approfondir notre compréhension de la théorie de la mesure quantique59. De plus, ces techniques de mesure peuvent potentiellement permettre des implémentations de mesures non projectives plus générales dans des espaces bidimensionnels utilisant l'optique linéaire et la détection de photon unique.

La mesure optimale non concluante \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{\hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) pour les états cohérents binaires peut être réalisé avec un récepteur Dolinar généralisé64. Dans cette stratégie modifiée64, le récepteur généralisé effectue des mesures optimales dans deux modes temporels pendant le temps de mesure 0 ≤ t ≤ 1. Dans le premier mode temporel, 0 ≤ t ≤ t1, le récepteur optimal non concluant effectue une mesure MESD optimale pour discriminer entre \ (\{\left|\pm \alpha \right\rangle \}\) avec une erreur minimale en utilisant la forme d'onde de déplacement optimale35,36,64,66 :

Ici \({K}^{2}=| \left\langle -\alpha | \alpha \right\rangle {| }^{2}={e}^{-4| \alpha {| }^{2 }}\), p est la probabilité a priori de l'état le plus probable, et N1(t) est le nombre total de photons détectés dans le premier mode jusqu'au temps t ≤ t1, où N1(0) = 0. Notez que pendant le premier mode temporel la phase du champ de déplacement LO (signe de u1(t)) bascule entre 0 et π à chaque détection de photon, similaire au récepteur Dolinar77. Lors de la mesure dans le premier mode temporel, l'hypothèse provisoire de l'état de l'entrée au temps t est \(\left|\alpha \right\rangle\) si N1(t) est pair et \(\left|-\alpha \ right\rangle\) si N1(t) est impair. Les probabilités provisoires pour les deux états d'entrée après le premier mode temporel sont \(\{{P}_{{{{\rm{C}}}}}^{(1)},1-{P}_{{ {{\rm{C}}}}}^{(1)}\}\) avec :

qui correspond à la borne d'Helstrom pour les états cohérents \(\{\left|\pm \sqrt{{t}_{1}}\alpha \right\rangle \}\). La forme d'onde optimale u1(t) dans l'Eq. (2) et l'évolution de la probabilité de détection correcte PC(t) à t peut être obtenue en utilisant la mise à jour bayésienne64,78,79 ou le contrôle optimal66.

Dans le deuxième mode temporel (t1 < t ≤ 1), le récepteur effectue une mesure optimale non concluante dans le domaine dit à un seul état, où PI, \({P}_{{{{\rm{C}}} }}^{(1)}\), et (1 − t1)∣α∣2 sont tels que \({\hat{{{\Pi }}}}_{2}=0\)58,64. Sans perte de généralité, l'état le plus probable est \(\left|\alpha \right\rangle\), et les éléments POVM non nuls sont \({\hat{{{\Pi }}}}_{1} \) et \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}\). Cette mesure projective optimale non concluante dans le domaine à un seul état peut être réalisée par un récepteur de type Dolinar avec une forme d'onde de déplacement optimale64 :

où p dans l'équation. (2) est remplacé par la quantité v, qui dépend de PI, p, et ∣α∣2 64. N2(t) est le nombre de photons détectés dans le second mode avec N2(t1) = 0, et N0 détermine la phase du LO à t1 : N0 = 0 si v > 0,5 et N0 = 1 sinon.

La forme d'onde de déplacement total pour le récepteur optimal non concluant est donc une combinaison de u1(t) dans l'Eq. (2) et u2(t) dans l'équation. (4) résultant du déplacement optimal total dans l'Eq. (1) dans le texte principal. Cette stratégie implémente donc un récepteur Dolinar standard pendant le premier mode 0 ≤ t ≤ t1, puis un récepteur de type Dolinar pendant t1 < t ≤ 1 en supposant que les états d'entrée à t = t1 ont des probabilités antérieures {v, 1 − v}64 .

Dans notre démonstration expérimentale, des impulsions optiques sont générées à partir d'un laser Hélium-Néon et d'un modulateur acousto-optique pulsé (AOM), puis divisées en bras de signal (supérieur) et bras LO (inférieur), comme illustré à la Fig. 1d. Les états d'entrée sont préparés avec un atténuateur (Att.) et un modulateur de phase (PM). Le champ LO est préparé par un PM avec un multiplexeur (MUX) et un modulateur d'amplitude (AM) avec un convertisseur numérique-analogique (DAC). L'état d'entrée et le champ LO interfèrent sur un séparateur de faisceau 99/1 (BS) pour mettre en œuvre les formes d'onde de déplacement optimales \(\hat{D}(u(t))\) conditionnées sur des événements de détection de photons à l'aide d'un détecteur à photon unique (SPD). Un réseau prédiffusé programmable par l'utilisateur (FPGA) stocke l'amplitude de la forme d'onde optimale ∣u(t)∣ dans Eq. (1) en mémoire, prépare l'amplitude et la phase de l'OL conditionnées sur N1(t), N2(t) et N0, et met en œuvre la stratégie pour la mesure optimale non concluante. Nous discrétisons le temps t en 1024 intervalles de temps de 160 ns chacun où un photon peut être détecté pour se rapprocher d'une mesure continue. Notre implémentation atteint une bande passante de retour d'environ 6 MHz, qui est limitée par la latence de sortie APD, la bande passante électronique des contrôleurs, des commutateurs et des FPGA, représentant environ 50 ns et les retards optiques dans la configuration interférométrique (100 ns). Le FPGA traite et stocke les détections de photons pendant ces intervalles de temps et envoie les historiques de détection à un ordinateur. Nous reconstruisons les probabilités de mesure en post-traitement. La mesure optimale non concluante nécessite de très grandes valeurs du rapport entre le nombre moyen de photons du champ de déplacement et l'état d'entrée, R = ∣u(t)∣2/∣α∣2. Cependant, expérimentalement, il existe un rapport maximal R qui peut être mis en œuvre de manière fiable. Dans notre démonstration, nous avons fixé le maximum de ce rapport à R = 50, qui est limité par le rapport d'extinction (≈20 dB) de l'AM dans le bras LO de la configuration. L'impact des valeurs finies pour R et d'autres imperfections expérimentales est discuté dans les notes complémentaires I et II.

Nous utilisons un Opal Kelly ZEM4310 pour contrôler l'expérience, qui est basé sur un FPGA Altera Cyclone IV et a une fréquence d'horloge de base de 50 MHz. Nous discrétisons les mesures de discrimination en 1024 intervalles de temps de 160 ns chacun de sorte qu'un seul tir de l'expérience correspond à une impulsion de 163,8 μs de long. L'amplitude de la forme d'onde LO pour chacun des 1024 intervalles de temps est pré-calculée pour chaque PI de probabilité ∣α∣2 et non concluante et stockée dans une table de consultation dans le FPGA sous la forme d'une valeur de 8 bits. La phase du LO bascule entre 0 et π chaque fois qu'un photon est détecté. Cette méthode de préparation de la forme d'onde LO optimale donnée par l'Eq. (1) nous permet d'implémenter efficacement la mesure non concluante optimale souhaitée dans notre démonstration.

La stratégie non concluante optimale nécessite un contrôle précis et rapide de la phase LO. Nous contrôlons la phase du LO en changeant la tension appliquée au modulateur de phase entre deux valeurs qui correspondent à une phase de 0 et une phase de π. Chaque fois que la phase du LO change, nous ignorons la sortie de l'APD pendant 160 ns pour éviter les détections accidentelles de photons. Ce "temps de suppression" est obtenu en notant que le temps de retard électrique et optique combiné entre le changement de la tension de modulation et l'observation des photons correspondants à l'APD est d'environ 150 ns. Cela présente également l'avantage de réduire la probabilité effective d'après-impulsion à près de zéro. Typiquement, la probabilité de détecter une post-impulsion est à son maximum immédiatement après le temps mort de l'APD (≈40 ns pour notre implémentation), mais cette probabilité décroît rapidement avec le temps. Nous notons que sans aucune suppression, la probabilité cumulée après impulsion de notre APD est PAP ≈ 0,015 et PAP < 0,001 avec 100 ns de suppression.

Afin de maintenir une phase relative bien définie entre le signal et les champs LO, nous stabilisons activement l'interféromètre. Nous exécutons les expériences avec un taux de répétition de 4 kHz pour donner un rapport cyclique expérimental de ≈66% (temps d'expérience de ≈165 μs, temps de verrouillage de ≈91 μs). Pendant la partie du cycle de service expérimental où l'expérience n'a pas lieu, la phase relative entre les deux bras de la configuration interférométrique s'est activement stabilisée avec une boucle de rétroaction utilisant un contrôleur PID et un piézo à l'arrière d'un miroir dans le bras de signal , voir Fig. 2. Nous obtenons le signal d'erreur pour la stabilisation de l'interféromètre à l'aide d'un laser à bande étroite à 780 nm, qui est activement stabilisé en fréquence à une raie atomique dans le rubidium à l'aide de la spectroscopie d'absorption saturée. La lumière de ce laser se propage dans une direction opposée à travers l'interféromètre par rapport à la lumière à 633 nm, et est détectée avec un détecteur différentiel pour mesurer les fluctuations de phase. Un peu avant le début de la mesure de discrimination, la boucle de rétroaction est mise en pause et la tension du piézo est fixée à sa valeur actuelle. La boucle de rétroaction de stabilisation reprend une fois la mesure de discrimination terminée.

La configuration utilise des modulateurs électro-optiques lithium-niobate couplés à la fibre, d'amplitude et de phase (AM et PM), avec une bande passante de 3 dB de ≈1 GHz. Les modulateurs de phase (PM) ont une tension π de Vπ = 1,5 V et le modulateur d'amplitude (AM) a une tension π de Vπ = 750 mV avec un rapport d'extinction de ≈20 dB. L'amplitude et la phase de l'OL et la phase des champs de signal sont ajustées à l'aide de trois convertisseurs numérique-analogique (DAC) 8 bits, de circuits de gain commandés en tension et d'amplificateurs sommateurs.

Les données à l'appui des conclusions de cette étude sont disponibles sur demande auprès des auteurs.

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Ce travail a été soutenu par la National Science Foundation (NSF) (PHY-1653670 et PHY-2210447).

Centre d'information et de contrôle quantiques, Département de physique et d'astronomie, Université du Nouveau-Mexique, Albuquerque, NM, 87131, États-Unis

MT DiMario et veau FE

Joint Quantum Institute, National Institute of Standards and Technology et Université du Maryland, College Park, MD, 20742, États-Unis

MT DiMario

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La FEB a supervisé les travaux. MTD a conçu la mise en œuvre expérimentale et effectué les mesures. Tous les auteurs ont contribué à l'analyse des résultats théoriques et expérimentaux, ont conçu l'idée de généraliser les mesures non concluantes à des dimensions supérieures et ont contribué à la rédaction du manuscrit.

Correspondance à FE Becerra.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

DiMario, MT, Becerra, FE Démonstration de la mesure non projective optimale d'états cohérents binaires avec comptage de photons. npj Quantum Inf 8, 84 (2022). https://doi.org/10.1038/s41534-022-00595-3

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Reçu : 08 octobre 2021

Accepté : 24 juin 2022

Publié: 18 juillet 2022

DOI : https://doi.org/10.1038/s41534-022-00595-3

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